LOGARITMOS
Una WebQuest para estudiantes de 2º Ciclo de Enseñanza Media de Adultos
Diseñado por: Sergio Vargas Benitez
Diseñado por: Sergio Vargas Benitez
INTRODUCCION
En esta unidad aprenderás a resolver ejemplos y ecuaciones básicas de los logaritmos aplicando sus propiedades.
Simbólicamente los logaritmos se anotan de la siguiente manera:
Log b n = x Entonces b x = n
Observaciones básicas de los logaritmos.
1) la base de un logaritmo es un número real, positivo y distinto de uno.
2) Los números negativos no tienen logaritmos en el conjunto de los números reales.
3) Si la base de un logaritmo es 10 se denominan logaritmos decimales y la base no se escribe.
4) El logaritmo de un número igual a la base es siempre 1
5) El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre 0
6) El logaritmo de un número menor que 1 es negativo.
Ejemplos básicos de logaritmos.
1) log 5 25 = 2 porque 52 = 25
2) log2 16 = 4 porque 24 = 16
3) log 3 243 = 5 porque 35 = 243
4) log 5 125 = 3 porque 53 = 125
Podemos concluir que el valor de un logaritmo es buscar la cantidad de veces que la base del logaritmo se repite para obtener el número dado.
TAREA
Determinar el valor de los siguientes ejemplos de logaritmos.
1) log3 81 =
2) log 2 8 + log3 9 + log5 25 =
3) log 3 27 + log2 64 - log 9 81 =
4) log2 64 + log6 216 - log 10 100 =
5) log4 4 + log 7 49 - log 3 81 – log 5 25 =
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.
1) Logaritmo de un producto: Es igual a la suma de los logaritmos de cada factor, es decir.
Log a ( b . c. d ) = log a b + log a c + log a d
Ejemplo: log 2 (8. 32. 64) = log 2 8 + log 2 32 + log2 64 = 3+ 5+6 = 14
2) Logaritmo de un cuociente: Es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el divisor, es decir.
Log a b/ c = log a b - log a c
Ejemplo. Log 3 81 / 9 = log 3 81 – log 3 9 = 4 – 2 = 2
2) Logaritmo de una potencia : Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia, es decir:
Log b a n = n. Log b a
Ejemplo: log 5 256 = 6. Log 5 25 = 6. 2 = 12
3) Logaritmo de una raíz: Es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz, es decir.
Log b V a = log b a / n
Ejemplo: log 2 3V 64 = log 2 64 / 3 = 6 / 3 = 2
1) Logaritmo de un producto: Es igual a la suma de los logaritmos de cada factor, es decir.
Log a ( b . c. d ) = log a b + log a c + log a d
Ejemplo: log 2 (8. 32. 64) = log 2 8 + log 2 32 + log2 64 = 3+ 5+6 = 14
2) Logaritmo de un cuociente: Es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el divisor, es decir.
Log a b/ c = log a b - log a c
Ejemplo. Log 3 81 / 9 = log 3 81 – log 3 9 = 4 – 2 = 2
2) Logaritmo de una potencia : Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia, es decir:
Log b a n = n. Log b a
Ejemplo: log 5 256 = 6. Log 5 25 = 6. 2 = 12
3) Logaritmo de una raíz: Es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz, es decir.
Log b V a = log b a / n
Ejemplo: log 2 3V 64 = log 2 64 / 3 = 6 / 3 = 2
TAREA 2
Resolver los siguientes ejemplos básicos de logaritmos aplicando las propiedades.
1) log 3 ( 9 . 27 ) + log 2 64 / 16 =
2) log 3 81 / 27 + log 2 32 5 =
3) log 3 27 6 + log 2 V16 =
4) log2 (16. 128) + log 5 125 / 25 + log 3 81 6 =
5) log 2 64 / 32 + log 5 1253 - log 3 V 81 =
5) log 4 ( 16 . 64 ) - log 3 2435 + log 3 81 / 27 =
6) log 6 216 4 + log 3 ( 81 . 243 ) + log5 V 125 =
7) log 2 ( 8 . 16 . 32 ) - log 5 125 7 + log 2 128 / 32 =
8) log 3 ( 3 . 27 . 81 ) + log 4 64 /16 + log 2 V 64 =
11) log 5 125/ 25 + log 2 (16. 64. 128) – log 3 819 =
TAREA 3
Dado los valores de los siguientes logaritmos:
Log 2 = 0,3010 Log 3 = 0,4771 Log 5 = 0,6989
Log 7 = 0,8450.
Determinar los valores de los siguientes logaritmos aplicando la propiedad de la multiplicación.
1) Log 6 =
2) Log 12 =
3) Log 18 =
4) Log 42 =
5) Log 60 =
ECUACIONES LOGARITMICAS.
Para resolver las ecuaciones logarítmicas. Tienes que tener en cuenta las siguientes observaciones.
1) Aplicar las propiedades de los logaritmos
2) Aplicar l os logaritmos comunes o logaritmos de base 10.
Los logaritmos de base 10 más importantes son:
1) Log 10 10 = 1
2) Log 10 100 = 2
3) Log 10 1000 = 3
4) Log 10 10000 = 4
5) Log10 100000 = 5
6) Log 10 1000000 = 6
7) Log 10 10000000 = 7
8) Log 10 100000000 = 8
Ejemplos de Ecuaciones logarítmicas básicas.
1) Log 4x = 3 Log 2 + 4 Log 3 (aplicamos. Log de potencia)
Log 4x = Log 23 + Log 34 (aplicamos Log de suma)
Log 4x = Log 23 . 3 4 (simplificamos los Log. )
4x = 23. 3 4
4x = 8. 81
4x = 648
X = 648 / 4
X = 162
2) Log (2x – 4) = 2 (aplicamos Log en las segunda parte de la igualdad)
Log (2x – 4) = Log 100 (simplificamos los Log)
2x – 4 = 100 (se resuelve la ecuación)
2x = 104
X = 104 / 2
X = 52
3) Log ( x + 3 ) = Log 2 - Log ( x+2 ) ( propiedad de la división de Logaritmos en la segunda parte )
Log (x+3) = Log 2 / x+2 (simplificamos los Log)
X+3 = 2 / x+2
(X+3) (X+2) = 2 (Mult. De binomios)
X 2 +2x +3x +6 = 2
X 2 +5x + 6 -2 = 0
X 2 +5x +4 = 0 (factorizamos en productos de
Binomios)
(X + 4) (X + 1) = 0 (luego se tiene que )
X+4 = 0 x + 1 = 0
X = -4 x = -1
4) Log (x 2 + 15) = Log (x+3) + Log x (propiedad de Log)
Log ( x2 +15 ) = Log ( x + 3 ) x ( simplificamos los Log )
X2 + 15 = (x +3) x (multiplicamos)
X2 + 15 = x 2 + 3x (igualamos a cero)
X2 + 15 – x2 -3x = 0 (simplificamos)
-3x = - 15 (multiplicamos por (-1) ambas
Partes de la igualdad)
3x = 15
X = 15/ 3
X = 5
TAREA 4
Resolver las siguientes ecuaciones Logarítmicas aplicando las propiedades.
1) Log ( 2x -8 ) = 1
2) Log ( 12 – 3x ) = 2
3) Log 2x = 4 Log 2 + 2 Log 10
4) Log ( x +3 ) = Log 4 - Log ( x+ 4 )
5) Log ( x2 + 18 ) = Log ( x +4 ) + Log x
6) 2 Log ( x+5 ) = Log ( x + 7 )
7) Log ( x +1 ) + Log x = Log ( x+9 )
8) Log 6x = 2 Log 4 + 4 Log 3
9) Log ( 2x -50 ) = 2
10) Log ( 60 – 2x ) = 2
RECURSOS
1- www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112258420.GUIA%20DE%20LOGARITMO.doc
2- www.amatematicas.cl/sw.a/00001168
3- www.vitutor.com/al/log/log.html
4- http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=88&Itemid=117
5- http://www.sectormatematica.cl/
Resolver los siguientes ejemplos básicos de logaritmos aplicando las propiedades.
1) log 3 ( 9 . 27 ) + log 2 64 / 16 =
2) log 3 81 / 27 + log 2 32 5 =
3) log 3 27 6 + log 2 V16 =
4) log2 (16. 128) + log 5 125 / 25 + log 3 81 6 =
5) log 2 64 / 32 + log 5 1253 - log 3 V 81 =
5) log 4 ( 16 . 64 ) - log 3 2435 + log 3 81 / 27 =
6) log 6 216 4 + log 3 ( 81 . 243 ) + log5 V 125 =
7) log 2 ( 8 . 16 . 32 ) - log 5 125 7 + log 2 128 / 32 =
8) log 3 ( 3 . 27 . 81 ) + log 4 64 /16 + log 2 V 64 =
11) log 5 125/ 25 + log 2 (16. 64. 128) – log 3 819 =
TAREA 3
Dado los valores de los siguientes logaritmos:
Log 2 = 0,3010 Log 3 = 0,4771 Log 5 = 0,6989
Log 7 = 0,8450.
Determinar los valores de los siguientes logaritmos aplicando la propiedad de la multiplicación.
1) Log 6 =
2) Log 12 =
3) Log 18 =
4) Log 42 =
5) Log 60 =
ECUACIONES LOGARITMICAS.
Para resolver las ecuaciones logarítmicas. Tienes que tener en cuenta las siguientes observaciones.
1) Aplicar las propiedades de los logaritmos
2) Aplicar l os logaritmos comunes o logaritmos de base 10.
Los logaritmos de base 10 más importantes son:
1) Log 10 10 = 1
2) Log 10 100 = 2
3) Log 10 1000 = 3
4) Log 10 10000 = 4
5) Log10 100000 = 5
6) Log 10 1000000 = 6
7) Log 10 10000000 = 7
8) Log 10 100000000 = 8
Ejemplos de Ecuaciones logarítmicas básicas.
1) Log 4x = 3 Log 2 + 4 Log 3 (aplicamos. Log de potencia)
Log 4x = Log 23 + Log 34 (aplicamos Log de suma)
Log 4x = Log 23 . 3 4 (simplificamos los Log. )
4x = 23. 3 4
4x = 8. 81
4x = 648
X = 648 / 4
X = 162
2) Log (2x – 4) = 2 (aplicamos Log en las segunda parte de la igualdad)
Log (2x – 4) = Log 100 (simplificamos los Log)
2x – 4 = 100 (se resuelve la ecuación)
2x = 104
X = 104 / 2
X = 52
3) Log ( x + 3 ) = Log 2 - Log ( x+2 ) ( propiedad de la división de Logaritmos en la segunda parte )
Log (x+3) = Log 2 / x+2 (simplificamos los Log)
X+3 = 2 / x+2
(X+3) (X+2) = 2 (Mult. De binomios)
X 2 +2x +3x +6 = 2
X 2 +5x + 6 -2 = 0
X 2 +5x +4 = 0 (factorizamos en productos de
Binomios)
(X + 4) (X + 1) = 0 (luego se tiene que )
X+4 = 0 x + 1 = 0
X = -4 x = -1
4) Log (x 2 + 15) = Log (x+3) + Log x (propiedad de Log)
Log ( x2 +15 ) = Log ( x + 3 ) x ( simplificamos los Log )
X2 + 15 = (x +3) x (multiplicamos)
X2 + 15 = x 2 + 3x (igualamos a cero)
X2 + 15 – x2 -3x = 0 (simplificamos)
-3x = - 15 (multiplicamos por (-1) ambas
Partes de la igualdad)
3x = 15
X = 15/ 3
X = 5
TAREA 4
Resolver las siguientes ecuaciones Logarítmicas aplicando las propiedades.
1) Log ( 2x -8 ) = 1
2) Log ( 12 – 3x ) = 2
3) Log 2x = 4 Log 2 + 2 Log 10
4) Log ( x +3 ) = Log 4 - Log ( x+ 4 )
5) Log ( x2 + 18 ) = Log ( x +4 ) + Log x
6) 2 Log ( x+5 ) = Log ( x + 7 )
7) Log ( x +1 ) + Log x = Log ( x+9 )
8) Log 6x = 2 Log 4 + 4 Log 3
9) Log ( 2x -50 ) = 2
10) Log ( 60 – 2x ) = 2
RECURSOS
1- www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112258420.GUIA%20DE%20LOGARITMO.doc
2- www.amatematicas.cl/sw.a/00001168
3- www.vitutor.com/al/log/log.html
4- http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=88&Itemid=117
5- http://www.sectormatematica.cl/
